Bob Anderson nació el 19 de mayo de 1931 en Hendon, Londres (Gran Bretaña). En 1961 debutó en las competiciones con monoplazas. En 1962 cerró contrato como piloto con la escudería Lotus, corriendo en carreras de Fórmula Junior. En 1963 debutó en el RAC British Grand Prix, que se disputó en el Circuito de Silverstone, con un Lola 4 Climax V8, de la escudería DW Racing Enterprises. Ese mismo año con un Lola Fórmula 1 venció en el XV° Gran Premio di Roma y fue tercero en el IVº Gran Premio di Imola.

En 1964, fiel a su escudería de toda la vida, y con un Brabham BT11, acudió a ocho Grandes Premios puntuables, siendo sus mejores resultados un tercer puesto en Austria, y un sexto en Holanda. También fue tercero en el Grand Prix de Solitude y en el Grand Prix du Rand.

En 1965 con el mismo monoplaza y la misma escudería sólo consiguió ser noveno en Mónaco y Francia. En 1966 condujo el Brabham BT11, con motor Coventry Climax, con el que fue sexto en el Gran Premio de Italia y séptimo en Francia.

En 1967 fue quinto en Sudáfrica gracias a su amortizado Brabham BT11 y séptimo en el Spring Trophy, asimismo es segundo en el Cape South Easter Grand Prix.

Falleció el 14 de agosto de 1967 en Northampton (Northamptonshire), tras sufrir un accidente durante los entrenamientos del Gran Premio en el trazado de Silverstone.